若对任意使得关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$（$ac\ne 0$）有实数解的 $a,b,c$ 均有 $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant rc^2$，则实数 $r$ 的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学优特（U-Test）数学测试试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
设关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$（$ac\ne 0$）的实数解为 $m,n$，则\[m+n=-\dfrac ba,mn=\dfrac ca,\]于是\[\begin{split} r&\leqslant \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{c^2}\\ &=\dfrac{\left(1-\dfrac ba\right)^2+\left(\dfrac ba-\dfrac ca\right)^2+\left(\dfrac ca-1\right)^2}{\left(\dfrac ca\right)^2}\\
&=\dfrac{(1+m+n)^2+(mn+m+n)^2+(mn-1)^2}{m^2n^2}\\
&=\dfrac{\left[(n+1)^2+1+n^2\right]\cdot \left(m^2+m+1\right)}{m^2n^2}\\
&=\dfrac{2\left(m^2+m+1\right)\left(n^2+n+1\right)}{m^2n^2}\\
&=2\cdot \left[\left(\dfrac 1m+\dfrac 12\right)^2+\dfrac 34\right]\cdot \left[\left(\dfrac 1n+\dfrac 12\right)^2+\dfrac 34\right],\end{split}\]右侧代数式的最小值为 $\dfrac 98$，因此所求实数 $r$ 的最大值为 $\dfrac 98$．
&=\dfrac{(1+m+n)^2+(mn+m+n)^2+(mn-1)^2}{m^2n^2}\\
&=\dfrac{\left[(n+1)^2+1+n^2\right]\cdot \left(m^2+m+1\right)}{m^2n^2}\\
&=\dfrac{2\left(m^2+m+1\right)\left(n^2+n+1\right)}{m^2n^2}\\
&=2\cdot \left[\left(\dfrac 1m+\dfrac 12\right)^2+\dfrac 34\right]\cdot \left[\left(\dfrac 1n+\dfrac 12\right)^2+\dfrac 34\right],\end{split}\]右侧代数式的最小值为 $\dfrac 98$，因此所求实数 $r$ 的最大值为 $\dfrac 98$．
题目
答案
解析
备注
