若对任意使得关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$（$ac\ne 0$）有实数解的 $a,b,c$ 均有 $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant rc^2$，则实数 $r$ 的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学优特（U-Test）数学测试试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，不妨设 $c=1$，则\[b^2-4a\geqslant 0,\]且\[\begin{split} r&\leqslant \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{c^2}\\
&=(a-b)^2+(b-1)^2+(1-a)^2\\
&=2\left(a-\dfrac{b+1}2\right)^2+\dfrac 32(b-1)^2,\end{split}\]记右侧代数式为 $M$．
情形一 $\dfrac{b+1}2\leqslant \dfrac{b^2}4$．此时\[M\geqslant \dfrac 32(b-1)^2\geqslant\dfrac 92.\]情形二 $\dfrac{b+1}2> \dfrac{b^2}4$．此时\[M\geqslant 2\left(\dfrac {b^2}4-\dfrac{b+1}2\right)^2+\dfrac 32(b-1)^2=\dfrac 18\left[(b-1)^2+3\right]^2\geqslant \dfrac 98.\]当 $b=1$ 时第二个不等式取到等号．
综上所述，实数 $r$ 的最大值为 $\dfrac 98$．
&=(a-b)^2+(b-1)^2+(1-a)^2\\
&=2\left(a-\dfrac{b+1}2\right)^2+\dfrac 32(b-1)^2,\end{split}\]记右侧代数式为 $M$．
综上所述，实数 $r$ 的最大值为 $\dfrac 98$．
题目
答案
解析
备注
