设函数 $f(x)=x^2+ax+b$，对于任意的 $a,b\in\mathbb R$，总存在 $x\in [0,4]$ 使得 $|f(x)|\geqslant m$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学优特（U-Test）数学测试试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
一方面，令\[f(0)=-f(2)=f(4),\]解得 $a=-4$，$b=2$，此时\[f(x)=x^2-4x+2\]在 $[0,4]$ 上的最大值为 $2$，因此 $m\leqslant 2$．
另一方面，当 $m\leqslant 2$ 时，考虑\[\begin{split} f(0)&=b,\\
f(2)&=2a+b+4,\\
f(4)&=4a+b+16,\end{split}\]因此\[8=|f(0)-2f(2)+f(4)|\leqslant |f(0)|+2|f(2)|+|f(4)|,\]于是 $|f(0)|,|f(2)|,|f(4)|$ 中至少有一个不小于 $2$，符合题意．
综上所述，实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\infty,2\right]$．
另一方面，当 $m\leqslant 2$ 时，考虑\[\begin{split} f(0)&=b,\\
f(2)&=2a+b+4,\\
f(4)&=4a+b+16,\end{split}\]因此\[8=|f(0)-2f(2)+f(4)|\leqslant |f(0)|+2|f(2)|+|f(4)|,\]于是 $|f(0)|,|f(2)|,|f(4)|$ 中至少有一个不小于 $2$，符合题意．
综上所述，实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\infty,2\right]$．
题目
答案
解析
备注
