$60$ 支球队两两比赛，且一定有胜负，每队赢的概率均为 $0.5$，设没有两队赢相同场数的概率为 $\dfrac qp$，其中 $p,q$ 为互质的正整数，则 $2^n$ 可整除 $p$ 的最大正整数 $n$ 是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学优特（U-Test）数学测试试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
考虑用 $60$ 个节点的有向完全图表示比赛结果，则可得\[\dfrac qp=\dfrac{60!}{2^{{\rm C}_{60}^2}}=\dfrac{60!}{2^{1770}}.\]而 $60!$ 中含有因子 $2$ 的个数为\[\left[\dfrac{60}2\right]+\left[\dfrac{60}{4}\right]+\left[\dfrac{60}{8}\right]+\left[\dfrac{60}{16}\right]+\left[\dfrac{60}{32}\right]=30+15+7+3+1=56,\]因此所求的最大整数为\[1770-56=1714.\]
题目
答案
解析
备注
