设函数 $f(x)=x^2-\ln x$，$g(x)=x-1$，直线 $y=m$ 分别交曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 于点 $P,Q$，则 $|PQ|$ 的最小值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学优特（U-Test）数学测试试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
设 $P$ 点的横坐标为 $a$，$Q$ 点的横坐标为 $b$，则\[a^2-\ln a=b-1=m,\]于是\[|PQ|=|b-a|=|a^2-\ln a+1-a|,\]设 $\varphi(a)=a^2-\ln a+1-a$，则\[\varphi'(a)=2a-\dfrac 1a-1=\dfrac{(2a+1)(a-1)}{a},\]于是当 $a=1$ 时该函数取得极小值，亦为最小值\[\varphi(1)=1,\]因此所求 $|PQ|$ 的最小值为 $1$．
题目
答案
解析
备注
