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两个相同的正四面体，四面分别标有 $1,2,3,4$，某人每次同时投掷这两个正四面体，规定每次两个底面数字之和为所得数字，共投掷 $3$ 次，则 $3$ 次所得数字之积能被 $10$ 整除的概率是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac 12$
B: $\dfrac 38$
C: $\dfrac{11}{32}$
D: $\dfrac{15}{32}$
【难度】
【出处】
2017年北京大学优特（U-Test）数学测试试题
【标注】
  • 题型
    >
    计数与概率
    >
    概率计算题
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    计数中的常用知识
    >
    容斥原理
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    随机事件的概率
    >
    古典概型
【答案】
D
【解析】
根据题意，每次投掷得到情形 $A$：掷出 $5$ 点，情形 $B$：掷出偶数点，情形 $C$：掷出 $3$ 或 $7$ 点的概率分别为 $\dfrac 14,\dfrac 12,\dfrac 14$，于是 $3$ 次投掷均没有 $5$ 的概率为 $\dfrac {27}{64}$，$3$ 次投掷均没有偶数的概率为 $\dfrac 18$，$3$ 次投掷既没有 $5$ 也没有偶数的概率为 $\dfrac{1}{64}$，因此根据容斥原理，$3$ 次投掷既有 $5$ 也有偶数的概率为\[1-\dfrac{27}{64}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{64}=\dfrac{15}{32}.\]
题目 答案 解析 备注
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