已知 $x,\theta\in \mathbb R$ 且 $x\neq 0$，则 $\left(1+x-\sin\theta\right)^2+\left(1-x-\dfrac2x+\cos\theta\right)^2$ 的最小值为 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
设题中代数式为 $m$，则\[m=\left[x-(-1+\sin\theta)\right]^2+\left[x+\dfrac 2x-(1+\cos\theta)\right]^2,\]表示双曲线\[E:y=x+\dfrac 2x\]上一点 $A\left(x,x+\dfrac 2x\right)$ 到圆\[C:(x+1)^2+(y-1)^2=1\]上一点 $B(1+\sin\theta,1+\cos\theta)$ 的距离的平方．先计算 $E$ 上的点到圆 $C$ 的圆心 $C(-1,1)$ 的距离\[\begin{split} d&=\sqrt{(x+1)^2+\left(x+\dfrac 2x-1\right)^2}\\
&=\sqrt{2x^2-\dfrac 4x+\dfrac{4}{x^2}+6},\end{split}\]只需考虑 $x>0$ 的情形．令\[\varphi(x)=2x^2-\dfrac 4x+\dfrac 4{x^2}+6,\]则\[\varphi'(x)=\dfrac{4(x-1)\left(x^3+x^2+x+2\right)}{x^3},\]因此 $\varphi(x)$ 的极小值，亦为最小值为\[\varphi(1)=8,\]因此所求距离的最小值为\[\left(\sqrt 8-1\right)^2=9-4\sqrt 2.\]
&=\sqrt{2x^2-\dfrac 4x+\dfrac{4}{x^2}+6},\end{split}\]只需考虑 $x>0$ 的情形．令\[\varphi(x)=2x^2-\dfrac 4x+\dfrac 4{x^2}+6,\]则\[\varphi'(x)=\dfrac{4(x-1)\left(x^3+x^2+x+2\right)}{x^3},\]因此 $\varphi(x)$ 的极小值，亦为最小值为\[\varphi(1)=8,\]因此所求距离的最小值为\[\left(\sqrt 8-1\right)^2=9-4\sqrt 2.\]
题目
答案
解析
备注
