已知实数 $t>2$，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\begin{cases} a_n-t,&a_n\geqslant t,\\ t+2-a_n, &a_n<t,\end{cases}$ 且存在正整数 $k$，使得对任意正整数 $n$ 均有 $a_{n+k}=a_n$．若 $a_1\in (t,t+1)$，则此时 $k$ 的最小值为 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，依次写出该数列的前面若干项探寻规律：$$\begin{split} &a_1=a_1\\&a_2=a_1-t\\&a_3=2t+2-a_1\\&a_4=t+2-a_1\\&a_5=a_1\\&\dots \end{split}$$因此该数列是周期为 $4$ 的数列．又\[\begin{split} a_1-a_2&=t>0,\\
a_1-a_3&=2\left(a_1-t-1\right)<0,\\
a_1-a_4&=2\left(a_1-t-2\right)<0,\end{split}\]于是该数列不是周期为 $1,2,3$ 的数列，因此 $k$ 的最小值为 $4$．
a_1-a_3&=2\left(a_1-t-1\right)<0,\\
a_1-a_4&=2\left(a_1-t-2\right)<0,\end{split}\]于是该数列不是周期为 $1,2,3$ 的数列，因此 $k$ 的最小值为 $4$．
题目
答案
解析
备注
