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若方程 $f(x+3)f(1-x)=0$ 有 $5$ 个不相等的实数根，则这 $5$ 个根的和等于 \((\qquad)\)
A: $0$
B: $5$
C: $-5$
D: $-10$
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的对称性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
【答案】
C
【解析】
令 $g(x)=f(x+3)f(1-x)$，则$$g(-2-x)=f(1-x)f(3+x)=g(x),$$所以 $g(x)$ 图象关于 $x=-1$ 对称，因此方程 $g(x)=0$ 的所有实根的平均数为 $-1$，因此这 $5$ 个根的和为 $-5$．
题目 答案 解析 备注
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