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已知 $\{a_n\}$ 是等比数列，$a_2=2$，$a_5=\dfrac 14$，则 $a_1a_2+a_2a_3+\cdots a_na_{n+1}=$  \((\qquad)\)
A: $16\left(1-4^{-n}\right)$
B: $16\left(1-2^{-n}\right)$
C: $\dfrac{32}{3}\left(1-4^{-n}\right)$
D: $\dfrac{32}{3}\left(1-2^{-n}\right)$
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等比数列及其性质
    >
    等比数列的前n项和
【答案】
C
【解析】
根据题意可求得$$a_n= \left(\dfrac 12\right)^{n-3},$$则$$a_na_{n+1}= \left(\dfrac 12\right)^{2n-5}.$$故数列 $\{a_na_{n+1}\}$ 是首项为 $8$ 公比为 $\dfrac 14$ 的等比数列，设 $\{a_na_{n+1}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则$$S_n=\dfrac{32}{3}\left(1-4^{-n}\right).$$
题目 答案 解析 备注
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