在矩形 $ABCD$ 中，$\left|\overrightarrow{AB}\right|,\left|\overrightarrow{BC}\right|,\left|\overrightarrow{AC}\right|$ 成等差数列，且 $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right|=20$，则矩形 $ABCD$ 的面积等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据题意，有\[\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right|=2\left|\overrightarrow{AC}\right|=20,\]于是 $\left|\overrightarrow{AC}\right|=10$．设 $\left|\overrightarrow{AB}\right|,\left|\overrightarrow{BC}\right|$ 分别为 $a,b$，则\[\begin{cases} a^2+b^2=100,\\ a+10=2b,\end{cases}\]解得\[\begin{cases} a=6,\\ b=8,\end{cases}\]于是矩形 $ABCD$ 的面积为\[ab=48.\]
题目
答案
解析
备注
