设点 $P$ 在 $\triangle{ABC}$ 所在的平面内，则当 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}$ 的值最小时，点 $P$ 是 $\triangle{ABC}$ 的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
记题中代数式为 $m$，设 $G$ 为 $\triangle{ABC}$ 的重心，则$$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA},\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GB},\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GC},$$所以\[\begin{split}m&=\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}\\&=3\overrightarrow{PG}^2+2\overrightarrow{PG}\cdot\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}\cdot \overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}\cdot \overrightarrow{GA}\\&=3{PG}^2+\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}\cdot \overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}\cdot \overrightarrow{GA}.\end{split}\]而 $\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}\cdot \overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}\cdot \overrightarrow{GA}$ 为定值，故当$$PG=0,$$即 $P$ 为重心时，$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}$ 最小．
题目
答案
解析
备注
