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小王以 $5$ $\rm m/s$ 的速度去追停在交通信号灯前的汽车，当他离汽车 $18$ $\rm m$ 时，交通信号灯由红变绿，汽车以 $1$ $\rm m/{s^2}$ 的加速度匀加速开走，那么 \((\qquad)\)
A: 小王可在 $7$ $\rm s$ 内追上汽车
B: 小王可在 $10$ $\rm s$ 内追上汽车
C: 小王追不上汽车，他们之间的距离最近为 $5.5$ $\rm m$
D: 小王追不上汽车，他们之间的距离最近为 $7$ $\rm m$
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    数学建模
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    二次函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
【答案】
C
【解析】
设初始时刻小王的位移为 $0$，汽车的位移是 $18{\rm m}$，则汽车与小王的位移之差\[S(t)=18+\dfrac 12t^2-5t,\]也即\[S(t)=\dfrac 12(t-5)^2+\dfrac{11}2,\]其中 $t\in [0,+\infty)$．因此小王追不上汽车，最近距离为 $5.5{\rm m}$．
题目 答案 解析 备注
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