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函数 $f(x)$ 在定义域 $\mathbb R^+$ 上是增函数，且满足 $f(xy)=f(x)+f(y)$．若 $f(3)=1$，且 $f(a)>f(a-1)+2$，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left(0,\dfrac 98\right)$
B: $\left(1,\dfrac 98\right)$
C: $\left(1,\dfrac 98\right]$
D: $\left[1,\dfrac 98\right]$
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    解不等式
    >
    解函数不等式
  • 知识点
    >
    函数
    >
    抽象函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
【答案】
B
【解析】
根据题意，有\[f(9)=f(3)+f(3)=2,\]于是题中不等式即\[f(a)>f(a-1)+f(9),\]也即\[f(a)>f(9a-9),\]也即\[a>9a-9>0,\]解得 $a$ 的取值范围是 $\left(1,\dfrac 98\right)$．
题目 答案 解析 备注
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