设函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt3\sin\theta}{3}x^3-\dfrac{\cos\theta}{2}x^2+x+1$，$\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$，则导数 $f'(1)$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=\sqrt3\sin\theta x^2-\cos\theta x+1,$$因此$$f'(1)=\sqrt3\sin\theta-\cos\theta+1=2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)+1,$$再结合 $\theta-\dfrac{\pi}{6}\in\left[-\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{\pi}{3}\right]$，解得 $f'(1)$ 的取值范围是 $\left[-1,\sqrt3+1\right]$．
题目
答案
解析
备注
