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如图所示，从半径为 $\left(1+\sqrt3\right) \mathrm{m}$ 的一个圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个边长等于该正方形边长的正三角形（三角形的一个顶点在圆周上）的纸板，并将它折叠成一个正四棱锥，则该棱锥的体积是  \((\qquad)\)
A: $\dfrac{4\sqrt2}{3} \mathrm{m}^3$
B: $\sqrt2 \mathrm{m}^3$
C: $\dfrac{2\sqrt2}{3} \mathrm{m}^3$
D: $\dfrac{2\sqrt3}{3} \mathrm{m}^3$
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
  • 题型
    >
    立体几何
    >
    折叠问题
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何体
    >
    空间几何体的形体分析
    >
    空间几何体的体积
【答案】
A
【解析】
设正方形边长为 $a$，则有$$\left(1+\sqrt3\right)a=2\left(1+\sqrt3\right),$$因此 $a=2$，设正四棱锥的高为 $h$，则有$$h^2=\left(\dfrac{\sqrt3}{2}a\right)^2-\left(\dfrac{a}2\right)^2=2,$$因此该棱锥的体积是 $\dfrac{4\sqrt2}{3}$．
题目 答案 解析 备注
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