如图所示，已知长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=5,AA_1=3,AD=4$，点 $M,N$ 是 $C_1D_1$ 上的两个动点，且 $MN=2$，$P$ 是 $BC$ 上的动点，则三棱锥 $A-MNP$ 的体积的最大值是 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
设三棱锥 $A-MNP$ 的体积为 $V$，$\triangle AMN$ 的面积为 $S$，点 $P$ 到面 $AMN$ 的距离为 $d$，则有$$V=\dfrac13\cdot S\cdot d,$$注意到\[S=\dfrac12\cdot MN\cdot AD_1=5,\]且当点 $P$ 在点 $C$ 时，$d$ 最大为 $\dfrac{12}{5}$，因此三棱锥 $A-MNP$ 的体积的最大值是 $4$．
题目
答案
解析
备注
