已知 $\alpha,\beta,\gamma\in [0,2\pi)$ 且两两不相等，则关于 $x,y$ 的方程组\[|x\cos\alpha+y\sin\alpha+1|=|x\cos\beta+y\sin\beta+1|=|x\cos\gamma+y\sin\gamma+1|\]的解的组数可能为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
CD
【解析】
设直线 $l_1,l_2,l_3$ 分别为\[\begin{split} l_1&:x\cos\alpha+y\sin\alpha+1=0,\\
l_2&:x\cos\beta+y\sin\beta+1=0,\\
l_3&:x\cos\gamma+y\sin\gamma+1=0,\end{split}\]则题意即点 $P(x,y)$ 到三条直线的距离相等．注意到原点 $O$ 到直线 $l_1,l_2,l_3$ 的距离均为 $1$，且 $\alpha,\beta,\gamma\in [0,2\pi)$ 且两两不相等，因此 $l_1,l_2,l_3$ 是单位圆的三条不同的切线．
情形一 三条切线两两相交．此时符合题意的点 $P(x,y)$ 的位置有 $4$ 个，为这三条切线围成三角形的内心和 $3$ 个旁心．
情形二 三条切线有两条互相平行，另一条与这两条切线相交．此时符合题意的点 $P(x,y)$ 的位置有 $2$ 个．
综上所述，题中方程组的解的组数可能为 $2$ 或 $4$．
l_2&:x\cos\beta+y\sin\beta+1=0,\\
l_3&:x\cos\gamma+y\sin\gamma+1=0,\end{split}\]则题意即点 $P(x,y)$ 到三条直线的距离相等．注意到原点 $O$ 到直线 $l_1,l_2,l_3$ 的距离均为 $1$，且 $\alpha,\beta,\gamma\in [0,2\pi)$ 且两两不相等，因此 $l_1,l_2,l_3$ 是单位圆的三条不同的切线．
综上所述，题中方程组的解的组数可能为 $2$ 或 $4$．
题目
答案
解析
备注
