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已知 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right]$，$M=3^{\sin x}+3^{\sqrt3\cos x}$，则 $M^2$ 的最小值是  \((\qquad)\)
A: $2\sqrt3$
B: $3^{\sqrt3}$
C: $3^{\sqrt3+1}$
D: $4\cdot3^{\sqrt3}$
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    三角函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
【答案】
D
【解析】
根据题意，有$$M\geqslant2\sqrt{3^{\sin x+\sqrt3\cos x}}=2\sqrt{3^{2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}}\geqslant2\cdot3^{\frac{\sqrt3}{2}},$$当且仅当 $x=\dfrac{\pi}{3}$ 时，等号成立，故 $M^2$ 的最小值为 $4\cdot3^{\sqrt3}$．
题目 答案 解析 备注
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