从 $1,2,3,4,5,6$ 这六个数字中取三个，以替换直线方程 $ax+by+c=0$ 中的 $a,b,c$，使直线与圆 $x^2+y^2=1$ 相离，这样的直线有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
由直线 $ax+by+c=0$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 相离，得$$\dfrac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}>1,$$整理得 $c^2>a^2+b^2$，按 $c$ 的取值分类．
情形一 当 $c=3$ 时，$a,b$ 的取法共有 $\mathrm{A}_2^2=2$ 种；
情形二 当 $c=4$ 时，$a,b$ 的取法共有 $\mathrm{A}_3^2=6$ 种；
情形三 当 $c=5$ 时，$a,b$ 的取法共有 $\mathrm{A}_4^2-2=10$ 种；
情形四 当 $c=6$ 时，$a,b$ 的取法共有 $\mathrm{A}_5^2-2=18$ 种；
又当 $\left(c,a,b\right)$ 取 $\left(6,2,4\right),\left(6,4,2\right)$ 和 $\left(3,1,2\right),\left(3,2,1\right)$ 表示同样的直线，因此满足题意的直线共有 $34$ 条．
又当 $\left(c,a,b\right)$ 取 $\left(6,2,4\right),\left(6,4,2\right)$ 和 $\left(3,1,2\right),\left(3,2,1\right)$ 表示同样的直线，因此满足题意的直线共有 $34$ 条．
题目
答案
解析
备注
