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棱长相等的正四棱锥的相邻侧面所成的二面角的正切值等于  \((\qquad)\)
A: $-\dfrac13$
B: $-\dfrac{2\sqrt2}{3}$
C: $-2\sqrt2$
D: $2\sqrt2$
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
  • 知识点
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    立体几何
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    空间几何量
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    空间的角
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    二面角
  • 知识点
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    立体几何
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    空间几何量
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    空间几何量的计算技巧
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    三射线定理
【答案】
C
【解析】
设题中二面角为 $\varphi$，则根据三射线定理，有\[\cos \angle ABC=\cos\angle PBA\cdot\cos \angle PBC+\sin\angle PBA\cdot\sin\angle PBC\cos\varphi,\]于是\[0=\dfrac 12\cdot \dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \dfrac{\sqrt 3}2\cdot \cos\varphi,\]于是 $\cos\varphi=-\dfrac 13$，进而 $\tan\varphi=-2\sqrt 2$．
题目 答案 解析 备注
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