已知 $C:x^2+\left(y-\dfrac12\right)^2=r^2$ 与 $y=\sin x$ 的图象有唯一公共点，且交点的横坐标为 $\alpha$，则 $\dfrac{\sin\alpha+\sin3\alpha-2\cos^2\alpha}{\cos\alpha}$ 的值等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
设圆 $C$ 与 $y=\sin x$ 的唯一交点为 $(\alpha,\sin\alpha)$，则圆 $C$ 与 $y=\sin x$ 在该点处相切，有$$\dfrac{\dfrac12-\sin\alpha}{-\alpha}\cdot\cos\alpha=-1,$$整理得$$\alpha=\left(\dfrac12-\sin\alpha\right)\cdot\cos\alpha,$$设所求代数式为 $M$，则有$$M=\dfrac{\sin\alpha+\left(3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\right)-2\cos^2\alpha}{\cos\alpha}=\cos\alpha\left(4\sin\alpha-2\right)=-4\alpha.$$
题目
答案
解析
备注
