已知动点 $P_1(x_1,\cos x_1)$，$P_2(x_2,\cos x_2)$，$O$ 为坐标原点，则当 $-1\leqslant x_1\leqslant x_2\leqslant 1$ 时，下列说法正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
$P_1$，$P_2$ 的轨迹如图．
设 $P(x,\cos x)$，$x\in [-1,1]$，则$$|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{x^2+\cos^2x}=\sqrt{1+x^2-\sin^2x}.$$当 $x\in [-1,1]$ 时，由 $|x|\geqslant |\sin x|$ 可得 $|\overrightarrow{OP}|\geqslant 1$，当且仅当 $x=0$ 时取得等号，于是 A 正确，B 错误．
对于 $\overrightarrow{OP_1}\cdot \overrightarrow {OP_2}$，显然当 $x_1=-1$，$x_2=1$ 时，$\overrightarrow{OP_1}\cdot \overrightarrow{OP_2}<0$，于是 C 不成立．
又因为$$|OP|\leqslant \sqrt{1+x^2}\leqslant \sqrt{2},$$等号无法同时取到，所以 $\overrightarrow{OP_1}\cdot \overrightarrow {OP_2}<\sqrt 2\cdot\sqrt 2=2$，D 不成立．
设 $P(x,\cos x)$，$x\in [-1,1]$，则$$|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{x^2+\cos^2x}=\sqrt{1+x^2-\sin^2x}.$$当 $x\in [-1,1]$ 时，由 $|x|\geqslant |\sin x|$ 可得 $|\overrightarrow{OP}|\geqslant 1$，当且仅当 $x=0$ 时取得等号，于是 A 正确，B 错误．对于 $\overrightarrow{OP_1}\cdot \overrightarrow {OP_2}$，显然当 $x_1=-1$，$x_2=1$ 时，$\overrightarrow{OP_1}\cdot \overrightarrow{OP_2}<0$，于是 C 不成立．
又因为$$|OP|\leqslant \sqrt{1+x^2}\leqslant \sqrt{2},$$等号无法同时取到，所以 $\overrightarrow{OP_1}\cdot \overrightarrow {OP_2}<\sqrt 2\cdot\sqrt 2=2$，D 不成立．
题目
答案
解析
备注
