已知向量 $\overrightarrow {OA},\overrightarrow {AB}$，$O$ 是坐标原点，若 $\left| {\overrightarrow {AB}} \right| = k\left| {\overrightarrow {OA}} \right|$，且 $\overrightarrow {AB}$ 方向是沿 $\overrightarrow {OA}$ 的方向绕着 $A$ 点按逆时针方向旋转 $\theta $ 角得到的，则称 $\overrightarrow {OA}$ 经过一次 $\left(\theta ,k\right)$ 变换得到 $\overrightarrow {AB}$．现有向量 $\overrightarrow {OA}= \left(1,1 \right)$ 经过一次 $\left({\theta _1},{k_1}\right)$ 变换后得到 $\overrightarrow {A{A_1}}$，$\overrightarrow {A{A_1}}$ 经过一次 $\left({\theta _2},{k_2}\right)$ 变换后得到 $\overrightarrow {{A_1}{A_2}}$，$\cdots$，如此下去，$\overrightarrow {{A_{n - 2}}{A_{n - 1}}}$ 经过一次 $\left({\theta _n},{k_n}\right)$ 变换后得到 $\overrightarrow {{A_{n - 1}}{A_n}}$．设 $\overrightarrow {{A_{n - 1}}{A_n}} = \left(x,y\right)$，${\theta _n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}$，${k_n} = \dfrac{1}{{\cos {\theta _n}}}$，则 $y - x$ 等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意\[\begin{split}\theta_1+\theta_2+\cdots +\theta_n&=1+\dfrac 12+\cdots +\dfrac{1}{2^{n-1}}\\ &=2-\dfrac{1}{2^{n-1}},\end{split}\]而\[k_1k_2\cdots k_n=\dfrac{1}{\cos 1\cdot \cos {\dfrac 12 }\cdots \cos{\dfrac 1{2^{n-1}}}},\]根据三角函数的定义：\[\begin{split}&x=\cos \left(\dfrac{\pi}{4}+2-\dfrac 1{2^{n-1}}\right)\cdot \dfrac{\sqrt 2}{\cos 1 \cos {\dfrac 12}\cdots \cos {\dfrac 1{2^{n-1}}}},\\ &y=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+2-\dfrac 1{2^{n-1}}\right)\cdot \dfrac{\sqrt 2}{\cos 1 \cos {\dfrac 12 }\cdots \cos{\dfrac 1{2^{n-1}}}},\end{split}\]于是\[\begin{split}y-x=&\dfrac{\sqrt 2}{\cos 1 \cos {\dfrac 12 }\cdots \cos {\dfrac 1{2^{n-1}}}}\cdot \left[\sin\left(\dfrac {\pi}{4}+2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)-\cos\left(\dfrac {\pi}{4}+2-\dfrac 1{2^{n-1}}\right)\right]\\&=\dfrac{\sqrt 2}{\cos 1\cos {\dfrac 12}\cdots \cos{\dfrac 1{2^{n-1}}}}\cdot \sqrt 2\sin\left(2-\dfrac 1{2^{n-1}}\right)\\&=\dfrac{{2\cos \left[{2 - {{\left(\dfrac{1}{2}\right)}^{n - 1}}}\right]}}{{\cos 1\cos \dfrac{1}{2} \cdots \cos \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}}}.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
