已知 $m,n\in(0,+\infty)$，若 $m=\dfrac{m}{n}+2$，则当 $\dfrac{m^2}{2}+2n^2-\dfrac4m-\dfrac2n$ 取得最小值时，$m+n=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
条件即为\[\dfrac 2m+\dfrac 1n=1,\]设题中代数式为 $A$，则\[\begin{split} A&=\left(\dfrac{m^2}2+2n^2\right)\cdot\left(\dfrac 2m+\dfrac 1n\right)^2-2\\
&=\dfrac{m^2}{2n^2}+\dfrac{8n^2}{m^2}+\dfrac{2m}n+\dfrac{8n}{m}+2\\
&=\dfrac 12\left(\dfrac mn+\dfrac{4n}{m}\right)^2+2\left(\dfrac mn+\dfrac {4n}{m}\right)-2\\
&=\dfrac 12\left(\dfrac mn+\dfrac{4n}m+2\right)^2-4\\
&\geqslant 14,\end{split}\]等号当 $m=2n=4$ 时取得．因此 $A$ 的最小值为 $14$，此时 $m+n=6$．
&=\dfrac{m^2}{2n^2}+\dfrac{8n^2}{m^2}+\dfrac{2m}n+\dfrac{8n}{m}+2\\
&=\dfrac 12\left(\dfrac mn+\dfrac{4n}{m}\right)^2+2\left(\dfrac mn+\dfrac {4n}{m}\right)-2\\
&=\dfrac 12\left(\dfrac mn+\dfrac{4n}m+2\right)^2-4\\
&\geqslant 14,\end{split}\]等号当 $m=2n=4$ 时取得．因此 $A$ 的最小值为 $14$，此时 $m+n=6$．
题目
答案
解析
备注
