数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$，若 $a_{2017}\in (k,k+1)$，其中 $k\in\mathbb N^{\ast} $，则 $ k$ 的值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学优特（U-Test）数学测试试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意，有\[a_{n+1}^2=a_n^2+2+\dfrac{1}{a_n^2},\]于是\[a_{n+1}^2-a_n^2>2,\]进而可得\[a_n^2\geqslant 2n-1,\]所以\[a_{2017}\geqslant \sqrt{2\cdot 2017-1}=\sqrt{4033}>\sqrt{3969}=63.\]进而有\[a_{n+1}^2-a_n^2\leqslant 2+\dfrac{1}{2n-1},\]进而可得\[a_n^2\leqslant 2(n-1)+1+1+\dfrac 12\ln{\dfrac{2n-1}3},\]所以\[a_{2017}<\sqrt{4034+\ln{40}}<\sqrt{4034+{\log_2}40}<\sqrt{4040}<\sqrt{4096}=64,\]因此所求 $k$ 的值为 $63$．
题目
答案
解析
备注
