如图，在直三棱柱 $A_1B_1C_1-ABC$ 中，$\angle{BAC}=\dfrac{\pi}{2}$，$AB=AC=AA_1=2$，点 $G$ 与 $E$ 分别为线段 $A_1B_1$ 和 $C_1C$ 的中点，点 $D$ 与 $F$ 分别为线段 $AC$ 和 $AB$ 上的动点．若 $GD\perp EF$，则线段 $DF$ 长度的最小值是 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
利用四边形（既可以是平面的也可以是空间的）的对角线垂直等价于对边平方和相等也可以完成转化．\[\begin{split}GD\perp EF &\Leftrightarrow GF^2+DE^2=DF^2+EG^2\\ &\Leftrightarrow 2^2+(1-n)^2+1^2+(2-m)^2=m^2+n^2+6\\&\Leftrightarrow 2m+n=2. \end{split}\]对 $|DF|$ 的最小值，可以利用柯西不等式：$$\begin{split}|DF|&=\sqrt{m^2+n^2}\\ &=\sqrt{\dfrac{(m^2+n^2)(1^2+2^2)}{5}}\\ &\geqslant \sqrt{\dfrac{(m+2n)^2}{5}}\\ &=\dfrac{2\sqrt 5}{5},\end{split}$$或者根据 $n=2-2m$，有\[\begin{split}|DF|&=\sqrt{m^2+n^2}\\&=\sqrt{m^2+4m^2-8m+4}\\&=\sqrt{5m^2-8m+4}\\&=\sqrt{5\left(m-\dfrac 45\right)^2+\dfrac 45}\leqslant \dfrac{2\sqrt 5}{5}. \end{split}\]
题目
答案
解析
备注
