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如图所示，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$ 是棱 $DD_1$ 的中点，$F$ 是侧面 $CDD_1C_1$ 上的动点，且 $B_1F\parallel $ 面 $A_1BE$，则 $B_1F$ 与平面 $CDD_1C_1$ 所成角的正切值构成的集合是 \((\qquad)\)
A: $\{2\}$
B: $\left\{\dfrac{2\sqrt 5}{5}\right\}$
C: $[2,2\sqrt 2]$
D: $\left[\dfrac{2\sqrt 5}{5},2\right]$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    空间的角
    >
    线面角
【答案】
C
【解析】
将问题分为两部分：找到 $F$ 的轨迹；根据 $F$ 的轨迹求所求正切值的范围．找到 $F$ 的轨迹如左图，$M$，$N$ 分别为 $C_1D_1$，$C_1C$ 的中点，则线段 $MN$ 为点 $F$ 的轨迹．
根据 $F$ 的轨迹求所求正切值的范围连接 $B_1F$、$C_1F$，则 $\tan{\angle{B_1FC_1}}=\dfrac{B_1C_1}{C_1F}$ 为所求正切值．设正方体棱长为 $2$，则 $C_1F$ 的范围为 $\left[\dfrac{\sqrt 2}{2},1\right]$，于是所求正切值的范围为 $[2,2\sqrt 2]$．
题目 答案 解析 备注
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