设 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{c}$，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$（$x,y\geqslant 0$），则$$\overrightarrow{A_1C}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}.$$设 $\overrightarrow{A_1E}=\lambda (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$（$\lambda \in[0,1]$），则$$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{A_1E}=\lambda \overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}+(1-\lambda)\overrightarrow{c},$$从而$$\begin{split}PE\perp A_1C&\Leftrightarrow (\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AP})\cdot \overrightarrow{A_1C}=0\\
&\Leftrightarrow [(\lambda -x)\overrightarrow{a}+(\lambda -y)\overrightarrow{b}+(1-\lambda)\overrightarrow{c}]\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=0,\end{split}$$所以$$(\lambda -x)+(\lambda -y)+\lambda -1=0,$$故$$x+y=3\lambda -1\cdots \text{ ① }$$因为$$PA=PE\Leftrightarrow \overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AP}=(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AP})\cdot (\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AP}),$$所以$$x^2+y^2=(\lambda -x)^2+(\lambda -y)^2+(1-\lambda )^2,$$即$$x+y=\dfrac{3\lambda ^2-2\lambda +1}{2\lambda}\cdots {\text{ ② }}$$综合 ①，②，$\lambda$ 为定值 $\dfrac 1{\sqrt 3}$，因此所求轨迹为线段．