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已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $1$，$AB$ 的平行线分别交 $AC,BC$ 于 $D,E$，连接 $BD$，$\triangle DCE,\triangle DBE,\triangle DBA$ 的面积分别记为 $S_1,S_2,S_3$，则 \((\qquad)\)
A: $\max\{S_1,S_2,S_3\}$ 的最小值为 $\dfrac 13$
B: $\max\{S_1,S_2,S_3\}$ 的最小值为 $\dfrac{3-\sqrt 5}2$
C: $\min\{S_1,S_2,S_3\}$ 的最大值为 $\dfrac 13$
D: $\min\{S_1,S_2,S_3\}$ 的最大值为 $\dfrac 14$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    双重最值问题
【答案】
BD
【解析】
设 $\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CB}=x$，$x\in(0,1)$，则\[\begin{split}S_1(x)&=x^2,\\
S_2(x)&=x-x^2,\\
S_3(x)&=1-x.\end{split}\]如图，$P$ 点为函数 $S_1(x)$ 与函数 $S_3(x)$ 图象的公共点，$Q$ 点为函数 $S_1(x)$ 与函数 $S_2(x)$ 图象的公共点，它们的坐标分别为\[P\left(\dfrac{\sqrt 5-1}2,\dfrac{3-\sqrt 5}2\right),Q\left(\dfrac 12,\dfrac 14\right).\]
题目 答案 解析 备注
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