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如图，在 $\triangle AOB$ 中，$\angle AOB=90^\circ$，$OA=1$，$OB=\sqrt 3$，等边 $\triangle EFG$ 的三个顶点分别在 $\triangle AOB$ 的三边上运动，则 $\triangle EFG$ 边长的最小值为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac12$
B: $\dfrac 23$
C: $\dfrac{\sqrt{21}}7$
D: $\dfrac{\sqrt 6}4$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
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    思考方式
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    数学建模
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    三角
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    函数的最值和值域
【答案】
C
【解析】
设 $\triangle EFG$ 的边长为 $x$，$\angle EFO=\theta$，则 $\angle GFB=\dfrac{2\pi}3-\theta$，$\angle FGB=\dfrac{\pi}6+\theta$，在 $\triangle GFB$ 中应用正弦定理，有\[\dfrac{GF}{\sin\angle GBF}=\dfrac{BF}{\sin\angle FGB},\]即\[BF=GF\cdot \dfrac{\sin\angle GFB}{\sin\angle GBF}=2x\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}6\right),\]因此由 $OF+FB=OB$ 可得\[x\cos\theta+2x\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}6\right)=\sqrt 3,\]解得\[\begin{split}x&=\dfrac{\sqrt 3}{\cos \theta+2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}6\right)}\\
&=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 3\sin\theta+2\cos\theta}\\
&\geqslant \dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 7}=\dfrac{\sqrt{21}}7,\end{split}\]等号当 $\theta=\arctan\dfrac{\sqrt 3}2$ 时取得．因此所求边长的最小值为 $\dfrac{\sqrt{21}}7$．
题目 答案 解析 备注
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