设集合 $A\subseteq\left\{1,2,3,\cdots,14\right\}$，若 $A$ 中的任意 $3$ 个元素均不构成等差数列，则 $A$ 中元素最多有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $A=\left\{a_1,a_2,\cdots,a_k\right\}$，其中 $k\in \mathbb{N}^{*}$，$1\leqslant k \leqslant 14$．不妨假设 $a_1<a_2<\cdots<a_{k}$．
若 $k \geqslant 9$，由题意，$a_3-a_1\geqslant 3$，$a_5-a_3\geqslant 3$，且 $a_5-a_3\ne a_3-a_1$，故\[
a_5-a_1\geqslant 7,
\]同理，\[
a_9-a_5\geqslant 7,
\]又因为 $a_9-a_5\ne a_5-a_1$，所以\[
a_9-a_1\geqslant 15,
\]矛盾．故 $k \leqslant 8$．
取 $A= \left\{1,2,4,5,10,11,13,14\right\}$，满足题意．
所以 $A$ 中元素个数的最大值为 $8$．
若 $k \geqslant 9$，由题意，$a_3-a_1\geqslant 3$，$a_5-a_3\geqslant 3$，且 $a_5-a_3\ne a_3-a_1$，故\[
a_5-a_1\geqslant 7,
\]同理，\[
a_9-a_5\geqslant 7,
\]又因为 $a_9-a_5\ne a_5-a_1$，所以\[
a_9-a_1\geqslant 15,
\]矛盾．故 $k \leqslant 8$．
取 $A= \left\{1,2,4,5,10,11,13,14\right\}$，满足题意．
所以 $A$ 中元素个数的最大值为 $8$．
题目
答案
解析
备注
