根据题意，若\[f(n)=k,\]则\[\begin{cases} \left|k-\sqrt n\right|\leqslant \left|k+1-\sqrt n\right|,\\ \left|k-\sqrt n\right|\leqslant \left|(k-1)-\sqrt n\right|,\end{cases}\]于是\[k^2-k+\dfrac 14\leqslant n\leqslant k^2+k+\dfrac 14,\]进而\[k^2-k+1\leqslant n\leqslant k^2+k.\]因此取值为 $k$ 的自变量有 $2k$ 个．因此\[\dfrac1{f(1)}+\dfrac 1{f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(m)}\]由 $2017$ 组数之和构成，每组数均为 $2k$ 个 $\dfrac 1k$，最后一组数为 $4034$ 个 $\dfrac{1}{2017}$．因此\[m=2017^2+2017=2017\cdot 2018.\]