已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_1=1$，$a_{n+1}-a_n=\cos\dfrac{n\pi}2$，则 $S_{678}=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
根据题意，有\[a_n=\sum_{n=1}^n\cos\dfrac{(n-1)\pi}2,n\in\mathbb N^{\ast},\]因此\[a_n=\begin{cases} 1,&n\equiv 1\pmod 4,\\
1,&n\equiv 2\pmod 4,\\
0,&n\equiv 3\pmod 4,\\
1,&n\equiv 0\pmod 4,\end{cases}\]进而\[S_n=\begin{cases} 3k+1,&n\equiv 1\pmod 4,\\
3k+2,&n\equiv 2\pmod 4,\\
3k+2,&n\equiv 3\pmod 4,\\
3k,&n\equiv 0\pmod 4,\end{cases}\]其中 $k=\left[\dfrac n4\right]$．于是\[S_{678}=3\cdot 169+2=340.\]
1,&n\equiv 2\pmod 4,\\
0,&n\equiv 3\pmod 4,\\
1,&n\equiv 0\pmod 4,\end{cases}\]进而\[S_n=\begin{cases} 3k+1,&n\equiv 1\pmod 4,\\
3k+2,&n\equiv 2\pmod 4,\\
3k+2,&n\equiv 3\pmod 4,\\
3k,&n\equiv 0\pmod 4,\end{cases}\]其中 $k=\left[\dfrac n4\right]$．于是\[S_{678}=3\cdot 169+2=340.\]
题目
答案
解析
备注
