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设 $(x^2-x+1)^{1008}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2016}x^{2016}$，则 $a_0+2a_1+3a_2+\cdots+2017a_{2016}$ 的值是 \((\qquad)\)
A: $1008$
B: $1009$
C: $2016$
D: $2017$
【难度】
【出处】
2017年清华大学429学术能力测试数学试题
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数的运算
    >
    导数公式
【答案】
B
【解析】
方法一根据题意，有\[x\left(x^2-x+1\right)^{1008}=a_0x+a_1x^2+a_2x^3+\cdots+a_{2016}x^{2017},\]两边求导，可得\[1008x\left(x^2-x+1\right)^{1007}(2x-1)+\left(x^2-x+1\right)^{1008}=a_0+2a_1x+3a_2x^2+\cdots+2017a_{2016}x^{2016},\]令 $x=1$，可得\[a_0+2a_1+3a_2+\cdots+2017a_{2016}=1009.\]方法二在题中等式中令 $x=1$，可得\[a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{2016}=1,\]对题中等式两边求导，可得\[a_1+2a_2x+\cdots+2016a_{2016}x^{2015}=1008\left(x^2-x+1\right)^{1007}\cdot (2x-1),\]令 $x=1$，可得\[a_1+2a_2+\cdots+2016a_{2016}=1008,\]于是\[a_0+2a_1+3a_2+\cdots+2017a_{2016}=1009.\]
题目 答案 解析 备注
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