已知曲线 $y=x+\dfrac tx$ 的两条切线均经过点 $P(1,0)$，切点分别为 $M,N$，记 $|MN|=g(t)$，则下列说法中正确的有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学429学术能力测试数学试题
【标注】
【答案】
AC
【解析】
题中函数即双曲线\[H:x^2-xy+t=0,\]根据圆锥曲线的切点弦方程，有\[MN:1\cdot x-\dfrac{1\cdot y+0\cdot x}2+t=0,\]即\[MN:2x-y+2t=0.\]于是选项 C 正确．
联立直线 $MN$ 与双曲线 $H$ 的方程，有\[x^2+2tx-t=0,\]于是\[g(t)=\sqrt{1+2^2}\cdot \sqrt{4t^2+4t},\]也即\[g(t)=2\sqrt 5\cdot \sqrt{t^2+t},\]于是选项 BD 错误．
当 $t=\dfrac 14$ 时，设 $M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则\[\begin{split}\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}&=(x_1-1)(x_2-1)+y_1y_2\\
&=(x_1-1)(x_2-1)+\left(2x_1+\dfrac 12\right)\left(2x_2+\dfrac 12\right)\\
&=5x_1x_2+\dfrac 54\\
&=0,\end{split}\]于是选项 A 正确．
联立直线 $MN$ 与双曲线 $H$ 的方程，有\[x^2+2tx-t=0,\]于是\[g(t)=\sqrt{1+2^2}\cdot \sqrt{4t^2+4t},\]也即\[g(t)=2\sqrt 5\cdot \sqrt{t^2+t},\]于是选项 BD 错误．
当 $t=\dfrac 14$ 时，设 $M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则\[\begin{split}\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}&=(x_1-1)(x_2-1)+y_1y_2\\
&=(x_1-1)(x_2-1)+\left(2x_1+\dfrac 12\right)\left(2x_2+\dfrac 12\right)\\
&=5x_1x_2+\dfrac 54\\
&=0,\end{split}\]于是选项 A 正确．
题目
答案
解析
备注
