已知数列 $\{x_n\}$，其中 $x_1=a$，$x_2=b$，$x_{n+1}=x_n+x_{n-1}$（$a,b$ 是正整数），若 $2008$ 为数列中的某一项，则 $a+b$ 可能的取值有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学429学术能力测试数学试题
【标注】
【答案】
AB
【解析】
根据题意，设\[x_n=p_n\cdot a+q_n\cdot b,\]则\[\begin{array}{c|cccccccccccccccc}\hline
n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16\\ \hline
p_n&1&0&1&1&2&3&5&8&13&21&34&55&89&144&233&377\\ \hline
q_n&0&1&1&2&3&5&8&13&21&34&55&89&144&233&377&610\\ \hline \end{array}\]考虑到\[p_n\cdot (a+b)\leqslant 2008\leqslant q_n\cdot (a+b),\]于是 $a+b$ 对应的可能的 $n$ 的值为\[\begin{array} {c|cccc}\hline
a+b&8&9&10&11\\ \hline
n&15&14&14&14\\ \hline\end{array}\]经检验可能的取值为\[\begin{split} 2008=233\cdot 7+377\cdot 1,\\ 2008=144\cdot 1+233\cdot 8,\end{split}\]因此选项 AB 符合题意．
n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16\\ \hline
p_n&1&0&1&1&2&3&5&8&13&21&34&55&89&144&233&377\\ \hline
q_n&0&1&1&2&3&5&8&13&21&34&55&89&144&233&377&610\\ \hline \end{array}\]考虑到\[p_n\cdot (a+b)\leqslant 2008\leqslant q_n\cdot (a+b),\]于是 $a+b$ 对应的可能的 $n$ 的值为\[\begin{array} {c|cccc}\hline
a+b&8&9&10&11\\ \hline
n&15&14&14&14\\ \hline\end{array}\]经检验可能的取值为\[\begin{split} 2008=233\cdot 7+377\cdot 1,\\ 2008=144\cdot 1+233\cdot 8,\end{split}\]因此选项 AB 符合题意．
题目
答案
解析
备注
