投掷一枚均匀的骰子 $6$ 次，每次掷出的点数为 $1,2,3,4,5,6$ 且概率相等，若存在 $k$ 使得 $1$ 到 $k$ 次的点数之和为 $6$ 的概率是 $p$，则 $p$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学429学术能力测试数学试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
点数之和为 $6$ 的可能拆法有\[\begin{split} 6=&6,\\
6=&1+5,\\
6=&2+4,\\
6=&3+3,\\
6=&1+1+4,\\
6=&1+2+3,\\
6=&2+2+2,\\
6=&1+1+1+3,\\
6=&1+1+2+2,\\
6=&1+1+1+1+2,\\
6=&1+1+1+1+1+1,\end{split}\]于是所求概率\[p=\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6^2}+\dfrac{10}{6^3}+\dfrac{10}{6^4}+\dfrac{5}{6^5}+\dfrac{1}{6^6},\]一方面，有\[p>\dfrac 16+\dfrac 5{6^2}=\dfrac{11}{36}>\dfrac 14,\]另一方面，有\[\begin{split} p&<\dfrac 16+\dfrac{6}{6^2}+\dfrac{10}{6^3}\cdot \left(1+\dfrac 16+\dfrac 1{6^2}+\dfrac{1}{6^3}\right)\\
&<\dfrac 13+\dfrac{10}{6^3}\cdot \dfrac 65\\
&=\dfrac{7}{18}\\
&<\dfrac 12,\end{split}\]于是选项 B 符合题意．
6=&1+5,\\
6=&2+4,\\
6=&3+3,\\
6=&1+1+4,\\
6=&1+2+3,\\
6=&2+2+2,\\
6=&1+1+1+3,\\
6=&1+1+2+2,\\
6=&1+1+1+1+2,\\
6=&1+1+1+1+1+1,\end{split}\]于是所求概率\[p=\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6^2}+\dfrac{10}{6^3}+\dfrac{10}{6^4}+\dfrac{5}{6^5}+\dfrac{1}{6^6},\]一方面，有\[p>\dfrac 16+\dfrac 5{6^2}=\dfrac{11}{36}>\dfrac 14,\]另一方面，有\[\begin{split} p&<\dfrac 16+\dfrac{6}{6^2}+\dfrac{10}{6^3}\cdot \left(1+\dfrac 16+\dfrac 1{6^2}+\dfrac{1}{6^3}\right)\\
&<\dfrac 13+\dfrac{10}{6^3}\cdot \dfrac 65\\
&=\dfrac{7}{18}\\
&<\dfrac 12,\end{split}\]于是选项 B 符合题意．
题目
答案
解析
备注
