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甲、乙、丙、丁四人做相互传球的游戏，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿到球的人再传给其他三人中的一人，这样的传球共进行了 $4$ 次，则第四次球传回甲的概率是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac 7{27}$
B: $\dfrac 5{27}$
C: $\dfrac 78$
D: $\dfrac{21}{64}$
【难度】
【出处】
2017年清华大学429学术能力测试数学试题
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    递推与递归
  • 知识点
    >
    数列
    >
    数列的通项公式
    >
    求数列通项的不动点法
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    随机事件的概率
    >
    全概率公式
【答案】
A
【解析】
设第 $n$ 次球传回甲的概率为 $a_n$，则根据全概率公式，有\[a_{n+1}=a_n\cdot 0+(1-a_n)\cdot \dfrac13,\]即\[a_{n+1}-\dfrac 14=-\dfrac 13\left(a_n-\dfrac 14\right),\]从而\[a_n=\dfrac 14\left[1-\left(-\dfrac 13\right)^{n-1}\right],n\in\mathbb N^{\ast}.\]令 $n=4$，即得所求概率为 $\dfrac 7{27}$．
题目 答案 解析 备注
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