设题中代数式为 $m$，令 $b+3c=x$，$8c+4a=y$，$3a+2b=z$，则$$\begin{split}a&=-\dfrac 13x+\dfrac 18y+\dfrac 16z,\\b&=\dfrac 12x-\dfrac{3}{16}y+\dfrac 14z,\\c&=\dfrac 16x+\dfrac{1}{16}y-\dfrac{1}{12}z,\end{split}$$于是$$\begin{split}m&=-\dfrac{61}{48}+\left(\dfrac{y}{8x}+\dfrac{x}{2y}\right)+\left(\dfrac{9y}{16z}+\dfrac{z}{4y}\right)+\left(\dfrac{3x}{2z}+\dfrac{z}{6x}\right)\\&\geqslant -\dfrac {61}{48}+2\cdot \dfrac 14+2\cdot \dfrac 38+2\cdot \dfrac 12\\&=\dfrac {47}{48},\end{split}$$等号当 $x:y:z=1:2:3$ 时，也即 $a:b:c=10:21:1$ 时取得．因此代数式 $m$ 的最小值为 $\dfrac{47}{48}$．