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已知 $0<x<1$，则下列正确的是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{\sin x}x<\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2<\dfrac{\sin{x^2}}{x^2}$
B: $\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2<\dfrac{\sin x}x<\dfrac{\sin{x^2}}{x^2}$
C: $\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2<\dfrac{\sin{x^2}}{x^2}<\dfrac{\sin x}x$
D: $\dfrac{\sin{x^2}}{x^2}<\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2<\dfrac{\sin x}x$
【难度】
【出处】
2017年清华大学429学术能力测试数学试题
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的单调性
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数的运算
    >
    基本极限
【答案】
B
【解析】
设函数\[\varphi(x)=\dfrac{\sin x}x,\]则在区间 $(0,1)$ 上其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{(x-\tan x)\cos x}{x^2}<0,\]因此函数 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，于是由\[0<x^2<x<1,\]可得\[\lim_{x\to 0}\varphi(x)>\varphi\left(x^2\right)>\varphi(x),\]也即\[\dfrac{\sin x}{x}<\dfrac{\sin x^2}{x^2}<1,\]进而选项 B 正确．
题目 答案 解析 备注
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