已知 $z_1=\sin\alpha+2\mathrm{i}$，$z_2=1+{\mathrm i}\cos\alpha$，则 $\dfrac{13-\big|z_1+{\mathrm i}z_2\big|^2}{\big|z_1-{\mathrm i}z_2\big|}$ 的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学429学术能力测试数学试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，记题中代数式为 $m$，则\[\begin{split} m&=\dfrac{13-|\sin \alpha-\cos\alpha+3{\rm i}|^2}{|\sin\alpha+\cos\alpha+{\rm i}|}\\
&=\dfrac{13-(\sin\alpha-\cos\alpha)^2-9}{\sqrt{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2+1}}\\
&=\dfrac{3+2\sin\alpha\cos\alpha}{\sqrt{2+2\sin\alpha\cos\alpha}}\\
&=\sqrt{2+\sin2\alpha}+\dfrac{1}{\sqrt{2+\sin2\alpha}}\\
&\geqslant 2,\end{split}\]等号当 $\sin2\alpha=-1$ 时取得，因此所求 $m$ 的最小值是 $2$．
&=\dfrac{13-(\sin\alpha-\cos\alpha)^2-9}{\sqrt{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2+1}}\\
&=\dfrac{3+2\sin\alpha\cos\alpha}{\sqrt{2+2\sin\alpha\cos\alpha}}\\
&=\sqrt{2+\sin2\alpha}+\dfrac{1}{\sqrt{2+\sin2\alpha}}\\
&\geqslant 2,\end{split}\]等号当 $\sin2\alpha=-1$ 时取得，因此所求 $m$ 的最小值是 $2$．
题目
答案
解析
备注
