已知数列 $\{a_n\}$，其中 $a_1=a$，$a_2=b$，且 $ab\ne 0$，$a_{n+2}=a_n-\dfrac 7{a_{n+1}}$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学429学术能力测试数学试题
【标注】
【答案】
ABCD
【解析】
根据题意，有\[a_{n+2}\cdot a_{n+1}-a_{n+1}\cdot a_n=-7,\]于是\[a_n\cdot a_{n+1}=ab-7(n-1),\]取 $a=7,b=1$，则 $a_3=0$，数列 $\{a_n\}$ 递减；取 $a=-7,b=-1$，则 $a_3=0$，数列 $\{a_n\}$ 递增，选项 ABC 正确．
取 $a=1$，$b=-1$，则\[a_n\cdot a_{n+1}<0,n\in\mathbb N^{\ast},\]因此数列 $\{a_n\}$ 中不存在为 $0$ 的项，进而 $\{a_n\}$ 为无限数列，选项 D 正确．
取 $a=1$，$b=-1$，则\[a_n\cdot a_{n+1}<0,n\in\mathbb N^{\ast},\]因此数列 $\{a_n\}$ 中不存在为 $0$ 的项，进而 $\{a_n\}$ 为无限数列，选项 D 正确．
题目
答案
解析
备注
