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若 $2x^2-2xy+y^2=1$，则 $x+2y$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $[-5,5]$
B: $(-5,5)$
C: $[-\sqrt {13},\sqrt {13}]$
D: $(-\sqrt {13},\sqrt {13})$
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    柯西不等式
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    配方
【答案】
C
【解析】
根据题意，有\[x^2+(x-y)^2=1,\]于是\[x+2y=3\cdot x+(-2)\cdot (x-y),\]根据柯西不等式，$x+2y$ 的取值范围是 $\left[-\sqrt{13},\sqrt{13}\right]$．
题目 答案 解析 备注
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