在四面体 $ABCD$ 中，$\angle BAC=\angle CAD =\angle DAB=90^{\circ}$．已知体积为 $V_1$，$V_2$，$V_3$ 的三个球的轴截面面积分别等于 $S_{\triangle ABC}$，$S_{\triangle ACD}$，$S_{\triangle ABD}$，又知体积为 $V$ 的球的轴截面的面积等于 $S_{\triangle BCD}$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $AB=a$，$AC=b$，$AD=c$，体积为 $V_1$，$V_2$，$V_3$ 和 $V$ 的球的半径分别为 $r_1$，$r_2$，$r_3$ 和 $r$．可知 $A$ 到面 $BCD$ 的距离为$$h=\dfrac {1}{\sqrt {\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}+\dfrac 1{c^2}}}.$$由等体积法可得$$\dfrac {1}{\sqrt {\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}+\dfrac 1{c^2}}}S_{\triangle BCD}=\dfrac 12abc,$$整理，得$$S_{\triangle BCD}^2=S_{\triangle ABC}^2+S_{\triangle ACD}^2+S_{\triangle ABD}^2,$$所以$$r^2=r_1^2+r_2^2+r_3^2.$$令$$f(x)=\left(\dfrac {r_1}{r}\right)^x+\left(\dfrac {r_2}{r}\right)^x+\left(\dfrac {r_3}{r}\right)^x,$$可知 $f(x)$ 单调递减，又 $f(2)=1$，所以 $f(3)<1$，进而$$V<V_1+V_2+V_3.$$
题目
答案
解析
备注
