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若 $0<\theta<2\pi$，并且 $\sin ^5\theta+3\sin \theta>\cos^5\theta+3\cos\theta$，则 $\theta$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right)$
B: $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right)$
C: $\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{4}\right)$
D: $\left(\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right)$
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    三角函数
【答案】
A
【解析】
根据题意构造函数$$f(x)=x^5+3x,x\in \mathbb R,$$显然 $f(x)$ 为单调递增函数，所以由$$f(
\sin\theta)=\sin ^5\theta+3\sin \theta>\cos^5\theta+3\cos\theta=f(\cos\theta),$$可得$$\sin \theta>\cos \theta,$$结合 $0<\theta<2\pi$，可知 $\theta$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right)$．
题目 答案 解析 备注
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