若正数 $x,y,z$ 使等式 $\dfrac{6}{xyz}\left(\dfrac1x+\dfrac2y+\dfrac 3z\right)=1$ 成立，则 $\left(\dfrac1x+\dfrac3z\right)\left(\dfrac 2y+\dfrac3z\right)$ 的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
进行如下变量代换简化原题$$(a,b,c)=\left(\dfrac1x,\dfrac2y,\dfrac3z\right),$$则已知条件即$$abc(a+b+c)=1,a,b,c>0.$$于是$$\begin{split} \left(\dfrac1x+\dfrac3y\right)\left(\dfrac 2y+\dfrac3z\right)&=(a+c)(b+c)\\
&=c(a+b+c)+ab\\
&=\dfrac1{ab}+ab\\
&\geqslant 2.\end{split}$$当 $ab=1$ 时所求表达式取得最小值 $2$．
&=c(a+b+c)+ab\\
&=\dfrac1{ab}+ab\\
&\geqslant 2.\end{split}$$当 $ab=1$ 时所求表达式取得最小值 $2$．
题目
答案
解析
备注
