根据题意有$$\sin (B+C)+2\sin B\cos C=0,$$于是$$3\tan B=-\tan C,$$又因 $\sqrt3b=c$，所以$$\sqrt3\sin B=\sin C,$$所以$$\cos B=-\sqrt3\cos C,$$以上两式相加可得$$\sin\left(B+\dfrac{\pi}6\right)=\sin\left(C-\dfrac{\pi}3\right),$$进而由和差化积公式有$$\sin\dfrac{B-C+\frac{\pi}{2}}2\cdot\cos\dfrac{B+C-\frac{\pi}6}{2}=0,$$因此$$C=B+\dfrac{\pi}2,$$所以$$\sqrt3\sin B=\sin C=\cos B,$$故 $B=\dfrac{\pi}{6}$，进而 $C=\dfrac{2\pi}{3},A=\dfrac{\pi}{6}$，所以$$\tan A=\dfrac{\sqrt3}{3}.$$