设定义在 $ {\mathbb{R}} $ 上的函数 $f\left(x\right)$ 满足：
$(1)$ 当 $m,n \in {\mathbb{R}}$ 时，$f\left(m + n\right) = f\left(m\right) \cdot f\left(n\right)$；
$(2)$ $f\left(0\right) \ne 0$；
$(3)$ 当 $x < 0$ 时，$f\left(x\right) > 1$，则在下列结论中：
① $f\left(a\right) \cdot f\left( - a\right) = 1$；
② $f\left(x\right)$ 在 $ {\mathbb{R }}$ 上是递减函数；
③ 存在 ${x_0}$，使 $f\left({x_0}\right) < 0$；
④ 若 $f\left(2\right) = \dfrac{1}{2}$，则 $f\left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{4},f\left(\dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{1}{6}$．
正确结论的个数是 \((\qquad)\)
$(1)$ 当 $m,n \in {\mathbb{R}}$ 时，$f\left(m + n\right) = f\left(m\right) \cdot f\left(n\right)$；
$(2)$ $f\left(0\right) \ne 0$；
$(3)$ 当 $x < 0$ 时，$f\left(x\right) > 1$，则在下列结论中：
① $f\left(a\right) \cdot f\left( - a\right) = 1$；
② $f\left(x\right)$ 在 $ {\mathbb{R }}$ 上是递减函数；
③ 存在 ${x_0}$，使 $f\left({x_0}\right) < 0$；
④ 若 $f\left(2\right) = \dfrac{1}{2}$，则 $f\left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{4},f\left(\dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{1}{6}$．
正确结论的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
由题意可知，$f\left(0\right)=f\left(0\right)\cdot f\left(0\right)$，因为 $f\left(0\right)\ne 0$，所以 $f\left(0\right)=1$，所以$$f\left(a\right)\cdot f\left(-a\right)=f\left(0\right)=1 \quad \cdots \cdots (*) .$$由题意，当 $x<0$ 时，$f\left(x\right)$ 为正，所以结合 $(*)$ 式可知，$x>0$ 时，$f\left(x\right)$ 也为正，所以 $f\left(x\right)$ 在 $\mathbb R$ 上恒正．
设 $x_1<x_2$，则\[\begin{split}f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)&=f\left(x_1-x_2\right)\cdot f\left(x_2\right)-f\left(x_2\right)\\&=f\left(x_2\right)\left[f\left(x_1-x_2\right)-1\right]\\&>0,\end{split}\]所以 $f\left(x\right)$ 在 $\mathbb R$ 上是减函数．
因为 $f(2)=\dfrac 12$，所以$$f\left(2\right)=\left[f\left(1\right)\right]^2=\left[f\left(\dfrac 12\right)\right]^4=\left[f\left(\dfrac 14\right)\right]^8=\dfrac 12.$$综上，正确的是 ①②．
设 $x_1<x_2$，则\[\begin{split}f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)&=f\left(x_1-x_2\right)\cdot f\left(x_2\right)-f\left(x_2\right)\\&=f\left(x_2\right)\left[f\left(x_1-x_2\right)-1\right]\\&>0,\end{split}\]所以 $f\left(x\right)$ 在 $\mathbb R$ 上是减函数．
因为 $f(2)=\dfrac 12$，所以$$f\left(2\right)=\left[f\left(1\right)\right]^2=\left[f\left(\dfrac 12\right)\right]^4=\left[f\left(\dfrac 14\right)\right]^8=\dfrac 12.$$综上，正确的是 ①②．
题目
答案
解析
备注
