在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB=2\sqrt3$，$AD=BC=CD=2$，记 $\triangle ABD$，$\triangle BCD$ 的面积分别为 $S_1,S_2$，则 $S_1^2+S_2^2$ 的最大值为 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
在 $\triangle ABD$ 与 $\triangle BCD$ 中分别用余弦定理有$$\begin{cases} BD^2=AD^2+AB^2-2AD\cdot AB\cdot\cos A,\\
BD^2=CD^2+CB^2-2CD\cdot CB\cdot\cos C,\end{cases}$$将以上两式做差，并代入题中已知数据可得$$\sqrt3\cos A-\cos C=1,$$于是$$\begin{split} S_1^2+S_2^2&=\left(\dfrac12AD\cdot AB\cdot\sin A\right)^2+\left(\dfrac12 CD\cdot CB\cdot\sin C\right)^2\\
&=16-4[(\sqrt3\cos A)^2+\cos^2C]\\
&\leqslant 16-2(\sqrt3\cos A-\cos C)^2\\
&=14.\end{split}$$当 $(\cos A,\cos C)=\left(\dfrac{\sqrt3}{6},-\dfrac12\right)$ 时，上述不等式取得等号，故所求表达式的最大值为 $14$．
BD^2=CD^2+CB^2-2CD\cdot CB\cdot\cos C,\end{cases}$$将以上两式做差，并代入题中已知数据可得$$\sqrt3\cos A-\cos C=1,$$于是$$\begin{split} S_1^2+S_2^2&=\left(\dfrac12AD\cdot AB\cdot\sin A\right)^2+\left(\dfrac12 CD\cdot CB\cdot\sin C\right)^2\\
&=16-4[(\sqrt3\cos A)^2+\cos^2C]\\
&\leqslant 16-2(\sqrt3\cos A-\cos C)^2\\
&=14.\end{split}$$当 $(\cos A,\cos C)=\left(\dfrac{\sqrt3}{6},-\dfrac12\right)$ 时，上述不等式取得等号，故所求表达式的最大值为 $14$．
题目
答案
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